A origem do problema isoperimétrico remonta ao filósofo grego Zenodorus, que viveu entre 200 a.C. e 140 a.C. No século 2 a.C., Zenodorus já se indagava: "De todas as figuras planas com um perímetro fixo, qual delas possui a maior área?" Embora seu texto original, "Sobre Figuras Isoperimétricas", tenha se perdido, suas ideias foram preservadas e discutidas por matemáticos posteriores como Pappus e Theon de Alexandria, que atestaram que o círculo possui a maior área em comparação com qualquer polígono regular que tenha o mesmo perímetro, além de afirmar que, entre os polígonos regulares, a figura com o maior número de lados maximiza a área ainda mais.

Uma análise interessante feita por Pappus, em suas "Coleções Matemáticas", destaca como a geometria hexagonal das colmeias é o resultado de uma "premeditação matemática" das abelhas, otimizada para armazenar o máximo de mel. Esta observação lança luz sobre a importância do problema isoperimétrico, já que, como ele disse, "nós, humanos, podemos ter ainda mais sabedoria do que esses insetos".

Contudo, os matemáticos da Antiguidade não conseguiram provar rigorosamente que o círculo é de fato a figura com maior área entre todas que compartilham um perímetro fixo, pois os métodos exigiam avanços teóricos que só surgiriam a partir do século 17.

Os irmãos Jacob e Johann Bernoulli, protagonistas da matemática do século 17, trouxeram avanços significativos para o campo, especialmente na década de 1690, em meio a uma intensa rivalidade que se transformou em animosidade ao longo dos anos. Ambos se debruçaram sobre o problema isoperimétrico, e Johann chegou a reivindicar uma solução, que acabou sendo considerada incorreta, levando Jacob a ridicularizar seu irmão. Mesmo assim, seus esforços contribuíram para o nascimento da nova disciplina conhecida como cálculo das variações.

Leonhard Euler, um dos gigantes da matemática que aprendeu com Johann Bernoulli, também se interessou profundamente pelo problema, publicando suas descobertas em 1744. Ele introduziu técnicas inovadoras que o aproximaram da prova de que o círculo é, de fato, a única curva que maximiza a área de uma região delimitada, dada uma constante de perímetro.

As contribuições de Euler foram aprimoradas por Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), estabelecendo uma nova era de desenvolvimento no cálculo das variações. A solução completa da questão isoperimétrica só foi alcançada no século 19, com contribuições notáveis de matemáticos como Karl Weierstrass, Bernhard Riemann, Jacob Steiner, John von Neumann, Constantin Carathéodory, entre outros.

A prova de Jacob Steiner é especialmente respeitada por sua elegância, e uma curiosidade fascinante é que ela também resolve um problema relacionado e distinto: "De todas as figuras planas com uma área fixa, qual delas possui o menor perímetro?" Você sabia que essa questão tem aplicações em diversas áreas, como na biologia e na otimização econômica? Se você está pensando que a matemática é apenas teoria, prepare-se para se surpreender com a sua presença em nosso cotidiano!